Inverse Kinematics

June 11, 2022About 6 min

Inverse Kinematics

逆向运动学是处理一个特殊节点怎么移动到一个世界坐标的位置上的过程。

Understand how CCD IK works

CCD是循环旋转下降（Cyclic Coordinate Descent）,这个算法有三个基础概念：

Goal：目标的世界坐标点
Ik chain：所有需要移动和选择的节点列表
End effector：节点列表末端

这个算法原理很简单，它是一个迭代算法。最开始迭代从节点列表的倒数第二个节点开始，倒数第一个是End effector。我们来解释一次迭代的过程：

求当前节点到目标点的向量：Joint to Target
求当前节点到末端节点的向量：Joint to Effector
旋转Joint to Effector向量与Jointt to Target同方向

我们可以看这个图比较清晰，这里画出来两次迭代：

我们需要多次迭代，直到effector离目标点足够接近。

Implement a CCD solver

迭代的次数需要固定，不能让他无线循环。

Understand how FABRIK works

FABRILK是正反向运动学（Forward And Backward Reaching Inverse Kinematics），这个算法我们只用位置来计算，不像CCD使用旋转。同样的也需要三个参数：

Goal：目标的世界坐标点
Ik chain：所有需要移动和选择的节点列表
End effector：节点列表末端

这个算法分成两部分：

反向迭代：先把最后一个节点开始移动到目标节点位置，然后从后到前依次移动列表中的节点，移动的长度为两节点之间的长度，也就是骨骼的长度；移动的方向是当前节点到下一个节点的方向。
正向迭代：先把头节点移动到之前反向迭代的位置，然后从前到后依次移动列表中的节点，移动的长度为两节点之间的长度，也就是骨骼的长度；移动的方向是当前节点到上一个节点的位置。

我们可以看这个图，前两步骤是反向迭代，后三步是正向迭代：

这个算法对于人体动画生成会更加的自然。

Ball-and-socket constraints

这个办法是对旋转角度的限制，父节点旋转和子节点旋转的角度不能超过多少，超过了就以限制角度为准。形象点说就是跟肩膀关节一样是一样的。像是下面这张图一样，黑色的关节只能在白色这个关节凹陷处旋转。

以下是伪代码：

void ApplyBallSocketConstraint(int i, float limit) 
{    
    quat parentRot = i == 0 ? mOffset.rotation :GetWorldTransform(i - 1).rotation;
    quat thisRot = GetWorldTransform(i).rotation;    
    vec3 parentDir = parentRot * vec3(0, 0, 1);    
    vec3 thisDir = thisRot * vec3(0, 0, 1);    
    float angle = ::angle(parentDir, thisDir);    
    if (angle > limit * QUAT_DEG2RAD) 
    {        
        vec3 correction = crHoss(parentDir, thisDir);        
        quat worldSpaceRotation = parentRot *angleAxis(limit * QUAT_DEG2RAD, correction);mChain[i].rotation = worldSpaceRotation * inverse(parentRot);    
    }
}

Hinge constraints

这个限制是只允许旋转沿着一个特殊的轴的旋转，这个像肘和膝盖，跟我们生活中的铰链一样。

所以我们只需知道当前节点与父节点的世界空间旋转，用旋转四元数乘以轴法线，并找到两者之间的一个四元数，这个就是我们需要的旋转的量，以下是伪代码：

void ApplyHingeSocketConstraint(int i, vec3axis) 
{    
    Transform joint = GetWorldTransform(i);    
    Transform parent = GetWorldTransform(i -1);    
    vec3 currentHinge = joint.rotation * axis;    
    vec3 desiredHinge = parent.rotation * axis;    
    mChain[i].rotation = mChain[i].rotation * fromToRotation(currentHinge, desiredHinge);
}