向量 Vector
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向量 Vector
是什么
向量是一个描述长度和方向的量,也可以叫做矢量。
记法
一般使用a粗体表示。一般写作:
几何表示
点与向量
任何一个点都可以写成y = aA + bB + cC
四则运算
加法
几何意义: 平行四边形法则
满足规则:
a + b = b + a (交换律)
a + b + c = b + (a + c) (结合律)
减法
几何意义:平行四边形法则
乘&除标量
几何意义: 对向量的缩放
乘以-1结果:
几何意义: 表示为长度相等并方向相反的向量。
模
向量的模也就是向量的长度。三维向量计算公式:
几何意义: 可以把一个向量转化为三角形,然后利用勾股定理转化为长度。
点乘
数学
a与b点乘公式:
计算公式: 从公式可以看出向量点乘结果为一个标量。
点乘满足规则:
p · p = ||p||²
几何意义
给定两个向量v和n,将能v分解成两个分量:V∥和V⊥。它们分别平行于和垂直于n,并满足v = V∥ + V⊥。一般称平行分量V∥为v在n上的投影。
这里我们可以**V∥**表示为:
根据三角函数我们可以求出||V∥|| = cosθ||v||,这样我们就可以求到
我们可以根据点乘结果的符号可以判断两个向量的方向:
- 结果大于0,同向
- 结果等于0,垂直
- 结果小于0,反向
叉乘
叉乘一般只存在三维坐标系,计算的结果是一个矢量。 计算公式:
两个向量叉乘的长度公式: ||a x b|| = ||a||||b||sinφ 可以看出来是平行四边形的面积。
满足规则:
- a x (b + c) = a x b + a x c
- a x (kb) = k(a x b)
- a x b = -(b x a)
几何意义
结果的向量为同时垂直这两个向量的向量。
我们可以使用结果的正负(垂直方向的)判断两个向量是否为同向(大于0同向)。
两个向量的叉乘的结果,是依赖于两向量的夹角。
单位向量
长度为1的向量,用来单纯存储方向,计算公式: