向量 Vector
November 6, 2023About 3 min
向量 Vector
是什么
向量是一个描述长度和方向的量，也可以叫做矢量。
记法
一般使用a粗体表示。一般写作：
几何表示
点与向量
任何一个点都可以写成y = aA + bB + cC
四则运算
加法
几何意义：
平行四边形法则
满足规则：
a + b = b + a (交换律)
a + b + c = b + (a + c) (结合律)
减法
几何意义：平行四边形法则
乘&除标量
几何意义：
对向量的缩放
乘以-1结果：
几何意义：
表示为长度相等并方向相反的向量。
模
向量的模也就是向量的长度。三维向量计算公式：
几何意义：
可以把一个向量转化为三角形，然后利用勾股定理转化为长度。
点乘
数学
a与b点乘公式：
计算公式：
从公式可以看出向量点乘结果为一个标量。
点乘满足规则：
p · p = ||p||²
几何意义
给定两个向量v和n，将能v分解成两个分量：V∥和V⊥。它们分别平行于和垂直于n，并满足v = V∥ + V⊥。一般称平行分量V∥为v在n上的投影。
这里我们可以**V∥**表示为：
根据三角函数我们可以求出||V∥|| = cosθ||v||，这样我们就可以求到
我们可以根据点乘结果的符号可以判断两个向量的方向：
- 结果大于0，同向
- 结果等于0，垂直
- 结果小于0，反向
叉乘
叉乘一般只存在三维坐标系，计算的结果是一个矢量。
计算公式：
两个向量叉乘的长度公式：
||a x b|| = ||a||||b||sinφ
可以看出来是平行四边形的面积。
满足规则：
- a x (b + c) = a x b + a x c
- a x (kb) = k(a x b)
- a x b = -(b x a)
几何意义
结果的向量为同时垂直这两个向量的向量。
我们可以使用结果的正负（垂直方向的）判断两个向量是否为同向（大于0同向）。
两个向量的叉乘的结果，是依赖于两向量的夹角。
单位向量
长度为1的向量，用来单纯存储方向，计算公式：