三角形 Trigonometry

October 5, 2020About 6 min

三角形 Trigonometry

角度与弧度

角度

把一个圆周平均分成360份，其中每一份都是1º的角。这种以“度”作为单位度量角度单位制叫做角度制。

下图使我们常见的180º角度尺：

弧度

长度为半径长的弧，所对的圆心角是1弧度（Radian），用符号rad表示。

半径为r的圆的圆心角α所对的弧度长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α| = l/r。

换算

360º = 2π rad
180º  = π rad

1º =（π / 180）rad ≈ 0.01745 rad
1 rad =（180 /π）º ≈ 57.30º

α 度的角 =  α ·（π / 180）rad

常用的角度与弧度对照图

三角函数

在直角三角形ABC中，∠C = 90º

正弦（Sine）：sinA = ∠A的对边与斜边的比
余弦（Cosine）：cosA = ∠A的邻边与斜边的比
正切（Tangent）：tanA = ∠A的对边与邻边的比
sin²A + cos²A = 1

在单位圆（Unit Circle）中，任意角 α 的三角函数（Trigonometric Function）

在相似三角形 Rt△ABC 与 Rt△AB′C′ 中，对于∠A，对边与斜边的比是一致的，邻边与斜边的比也是一致的。所以我们力求简单与方便计算，设定斜边为1，单位圆刚好能满足这个条件。

圆的圆心与直角坐标系的原点重合，圆的半径 r = 1，圆周上任意一点的坐标为（x, y）
自变量为角 α
函数是圆周上的坐标，或坐标和坐标的比值：sin α = y，cos α = x，tan α = y / x （x≠0）

三角函数在各个象限的取值

	第一象限	第二象限	第三象限	第四象限	x轴	y轴
sin α	>0	>0	<0	<0	0	±1
cos α	>0	<0	<0	>0	±1	0
tan α	>0	<0	>0	<0	0	/

正弦曲线

y = sin x， x∈R， y∈[–1，1]，周期为2π，函数图像以 x = (π/2) + kπ 为对称轴
y = arcsin x， x∈[–1，1]， y∈[–π/2，π/2]
sin x = 0 ←→ arcsin x = 0
sin x = 1/2 ←→ arcsin x = π/6
sin x = √2/2 ←→ arcsin x = π/4
sin x = 1 ←→ arcsin x = π/2

余弦曲线

y = cos x， x∈R， y∈[–1，1]，周期为2π，函数图像以 x = kπ 为对称轴
y = arccos x， x∈[–1，1]， y∈[0，π]
cos x = 0 ←→ arccos x = π/2
cos x = 1/2 ←→ arccos x = π/3
cos x = √2/2 ←→ arccos x = π/4
cos x = 1 ←→ arccos x = 0

三角函数线

图中的三条彩色线段 MP、OM、AT，分别叫正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线

曲线视频

一些公式

平方

任意角α与-α的三角函数值之间的关系

两角和与差

常见问题

一个点是否在三角形中？

我们可以简单的观察下面两种情况:

P点在△ABC外：
P点在△ABC内：

可以看得出如果P点在三角形内的话，P点都在三角形边向量的左侧。我们是如何来判断一点在一个向量的某一边呢？我们知道两个向量的叉乘的结果可以判断这个两个向量是否同向，我们这里计算出每条边与边的起始点与P点连接的线段的叉乘，来判断点P是否与每条边同向，可以列出式子：

Corss(AB,AP)
Corss(BC,BP)
Corss(CA,CP)

如果说这三个结果都为正，那么说明P点都在三角形的三边的一侧。简单的实现：

static bool insideTriangle(int x, int y, const Vector3f* _v)
{
    // Implement this function to check if the point (x, y) 
    // is inside the triangle represented by _v[0], _v[1], _v[2]
    Vector3f point(x + 0.5f, y + 0.5f, 1);
    for (int i = 0; i < 3; i++)
    {
        Vector3f triangle2point = point - _v[i];
        int index = (i + 1) % 3;
        Vector3f triangleP2P = _v[index] - _v[i];
        // case x , y cross equal z 
        if (triangleP2P.cross(triangle2point).z() < 0)
        {
            return false;
        }
    }

    return true;
}

使用重心求法

三角形重心

设P点的坐标(α, β, γ)，为三角形的重心坐标。

我们这里简单的推导一下,：

根据向量的线性相关：AP = βAB + γAC
拆分上面式子：A - P = β(A - B) + γ(A - C)
整理得到：P = (1-β-γ)A + βB + γC = αA + βB + γC
α = 1 - γ - β
0 < α < 1, 0 < β < 1, 0 < γ < 1

从上面可以看出这里的重心点P可以有很多值，只需要满足以上列举出来的规则。

我们使用距离比例算法来简单的推导实现，我们知道当α = 0 时，点p在BC线上，当α = 1 时，点p就是点A。我们可以简单认为 α 的值就是A点到BC线距离的比例，不过是反比例。因为一个点带入一个直线方程求到的解就是该点到方程的近似距离，然后就可以列出计算方式：(这里的0、1、2表示的是三角形的三个顶点的索引,也就是A、B、C点)

α = f12(x, y)/f12(x0, y0) ：点 P 到 BC 线的距离与点 A 到 BC 线的距离的比例
β = f20(x, y)/f20(x1, y1) ：点 P 到 CA 线的距离与点 B 到 CA 线的距离的比例
γ = f01(x, y)/f01(x2, y2) ：点 P 到 AB 线的距离与点 C 到 AB 线的距离的比例

我们可以根据直线公式获得：

f01(x, y)=(y0 − y1)x + (x1 − x0)y + x0y1 − x1y0,
f12(x, y)=(y1 − y2)x + (x2 − x1)y + x1y2 − x2y1,
f20(x, y)=(y2 − y0)x + (x0 − x2)y + x2y0 − x0y2.

最终就可以求解出这个坐标，简单实现：

static std::tuple<float, float, float> computeBarycentric2D(float x, float y, const Vector4f *v)
{
    float c1 = (x * (v[1].y() - v[2].y()) + (v[2].x() - v[1].x()) * y + v[1].x() * v[2].y() - v[2].x() * v[1].y()) / (v[0].x() * (v[1].y() - v[2].y()) + (v[2].x() - v[1].x()) * v[0].y() + v[1].x() * v[2].y() - v[2].x() * v[1].y());
    float c2 = (x * (v[2].y() - v[0].y()) + (v[0].x() - v[2].x()) * y + v[2].x() * v[0].y() - v[0].x() * v[2].y()) / (v[1].x() * (v[2].y() - v[0].y()) + (v[0].x() - v[2].x()) * v[1].y() + v[2].x() * v[0].y() - v[0].x() * v[2].y());
    float c3 = (x * (v[0].y() - v[1].y()) + (v[1].x() - v[0].x()) * y + v[0].x() * v[1].y() - v[1].x() * v[0].y()) / (v[2].x() * (v[0].y() - v[1].y()) + (v[1].x() - v[0].x()) * v[2].y() + v[0].x() * v[1].y() - v[1].x() * v[0].y());
    return {c1, c2, c3};
}

重心讲解1
重心讲解2