Math
December 8, 2021About 2 min
Math
向量
向量实际用的到一些小例子：
线性插值
两个向量值的插值范围
向量投影
投影计算，已知o,q,v求得 s 点
平面判断
判断p点位平面那个方位
n 为平面的法线，只需要盘点法线和法线与平面交点点乘的结果正负即可。
射线与圆的碰撞
我们要求一个从p点出发的射线是否与以c点为圆心半径为r的圆相交也就是发生碰撞
首先我们假设交点为p(t),同时根据插值公式得到：p(t) = p + vt
我们只需要判断p(t)点到c点的距离是否等于圆心即可，就可以得到
||p(t) - c|| = r
两边在平方
||p(t) - c||² = r²
再根据一个向量的模的平方为该向量点乘自己
(p - c + tv) · (p - c + tv) = r²
根据多项式变形得到
(v · v)t² + 2(p - c) · vt + (p - c) · (p - c) - r² = 0
求解二元一次方程即可，一般解有三种情况：
- 没有解：无交点
- 一个解：一个交点
- 两个解：两个交点
三角形的法线与面积
- 叉乘可以获得三角形的法向量和面积
- 法向量方向是根据叉乘的顺序获得
判断一个点是否在三角形内
与平面法向量同方向就在 内部
重心
点乘法向量是因为如果点在三角形外面，他的面积就可能是负值。也可以使用线性插值来计算。
使用在三角形着色上。
四面体求体积
四面体重心权重
判断射线是否与三角形相交
只需要设置一个交点，然后使用交点与任意个顶点相连得到的向量，检测这个向量是否垂直于三角形的法向量 。
矩阵
- 转置矩阵
- 对角矩阵，对角线有值，其余地方为0
- 单位矩阵：特殊的对角矩阵
- 对称矩阵
正交矩阵
两两垂直的三个轴
如果使用一个正交矩阵代表着局部坐标，然后对其旋转。
这个旋转矩阵就是描述物体本地坐标的状态。
奇异值分解
任何的线性变化都可以分解成三个步骤：旋转，缩放，旋转
特征值分解
只考虑对称值的特征分解
对称
正定矩阵
线性问题
已知矩阵A和结果向量b，需要求解x
一般不使用A的逆来做，因为计算量大和内存消耗大
直接法
迭代法
微积分
一阶导数
向量对实数求导
向量对向量求导
